TEMA 1 Números naturales. Divisibilidad



El sitema de numeración

En la Prehistoria, las tribus más primitivas, apenas sabían distinguir entre uno y muchos. Más adelante, utilizaron un lenguaje corporal (dedos, mano, codo, pie...) y con ayuda de ramas, piedras, etc. consiguieron contar números cada vez mayores.

Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos:

  • En Mesopotamia se representaban en forma de cuña.
  • En Egipto mediante jeroglíficos.
  • En Grecia, las letras de su alfabeto.
  • En Roma los símbolos que se usaron fueron: I=1;V=5; X=10; L=50; C = 100; D=500; M= 1000.
  • Nuestro sistema de numeración actual lo introdujeron los árabes y es de origen Hindú. Es un sistema posicional ya que el valor de una cifra en un número depende del lugar que ocupa y es decimal porque 10 unidades del mismo orden forman una unidad del orden inmediatamente superior.  Utililiza 10 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9


Práctica con los números romanos, realiza los ejercicios que aparecen en el enlace anterior. ¿Te parece cómodo este tipo de numeración? ¿ Es fácil o difícil de manejar? ¿Por qué?


Operaciones con números naturales

Repasa lo que sabes con estos ejercicios de cálculo mental:
Sumas             Restas              Productos                    Divisiones

Practica ahora las operaciones combinadas
Jerarquía de operaciones                    Operaciones combinadas

Múltiplos y divisores de un número

·           Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por cualquier número natural.
Para saber más: Múltiplos de un número

·         Un número a es divisor de b si la división de b entre a es exacta.

      Comprueba aquí que lo entiendes.

·         Aprende con ejemplos divertidos en los siguientes enlaces: múltiplos  divisores
 
·         Juega con algún compañero o compañera al Juego de múltiplos y divisores 

 
Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad nos permiten descubrir si un número es divible por otro sin necesidad de realizar la división.

Practica algunos criterios de divisibilidad y  repásalos de forma divertida

Números primos y compuestos

Hay números, como el 60, que tienen muchos divisores. Sin embargo hay otros números, como el 17, que solamente tienen como divisores a la unidad y al propio número: esto ocurre con los números primos. Llamamos números compuestos a los que tienen más de dos divisores, como sucedía, por ejemplo, con el 60. El número 1 no es ni primo ni compuesto.
Los números primos fascinaron a muchos grandes matemáticos a lo largo de la historia y siguen desempeñando un papel fundamental tanto en las matemáticas como en la vida cotidiana, donde son la base en la que se apoyan los complicados sistemas de encriptación (proceso para volver ilegible, codificar, cierta información) que se emplean actualmente para proteger datos importantes, como los códigos bancarios o las tarjetas de crédito.

¿Cuántos números primos hay?

Saber si un número es primo o compuesto no siempre es sencillo. En el año 3000 a. C Euclides, matemático y geómetra griego, demostró que hay infinitos números primos, pero hasta la fecha nadie fue capaz de encontrar una regla que permita obtener un número primo o saber, de un modo sencillo, cuáles son los divisores de un número.

¿Cuál es el mayor número primo conocido?

Pues hasta la fecha, este que tiene nada menos que ¡12.978.189 de dígitos!, por lo que obviamente no se puede escribir aquí:    243112609 - 1 = 3164702693302559231…22181166697152511
Fue descubierto el 23 de agosto de 2008 en la Universidad de California y su descubridor ganó el premio de 100.000 dólares, ofrecido por Electronic Frontier Foundation al primero que consiguiese un primo con más de 10.000.000 de dígitos.
En la actualidad hay un premio de 150.000 dólares para el primero que consiga un nº primo con más de 100.000.000 de cifras, así que ¡ánimo!.
Reconoce números primos aquí 

Anímate con los números primos

Criba de Eratóstenes
Eratóstenes (276 a. C. - 194 a. C.) nació en Cyrene, hoy Libia. Fue astrónomo, geógrafo, poeta, filósofo y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a. C. fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números primos pequeños conocido como Criba de Eratóstenes. Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la circunferencia de la Tierra.

Vamos a buscar todos los números primos comprendidos entre 1 y 100. En el siguiente enlace usaremos  el mismo método que empleó Eratóstenes: Criba de Eratóstenes

¿Cómo averiguar si un número es primo o compuesto? Haz clic aquí

Descomposición de un número en sus factores primos

 Cualquier número se puede expresar como producto de potencias de números primos. A esto se le llama descomposición factorial de un número.

Observa un ejemplo y practica con varios números aquí

Más ejercicios para practicar

¿Se te da bien la descomposición de un número en factores primos?


Mínimo común múltiplo de dos números

El mínimo común múltiplo de dos o más números , a, b, c, … es el menor de sus múltiplos comunes.
Se expresa así:  mcm (a,b,c,…)

Cálculo del mcm por descomposición factorial.

Máximo común divisor de dos números

El máximo común divisor de dos o más números , a, b, c, … es el mayor de sus divisores comunes.
Se expresa así:  mcd (a,b,c,…)

Cálculo del mcd por descomposición factorial

¿Diferencias el mcm y el mcd?


 

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